...
    data: {datat_input : $('#password').val(), datatr_input : $('#passwordr').val()},
...

if ($pass == $passr) {
echo '<input hidden name="valid_pass" id="valid_pass" value="TRUE">';
echo 'Paroli da';
} else {
echo '<input hidden name="valid_pass" id="valid_pass" value="FALSE">';
echo 'NE';
}

Ne, Paroli da - появляются не только рядом в '#passrmessage' но и '#usermessage' и '#emailmessage'
Хоть и есть

success: function(html){
    $("#passrmessage").html(html);
}

Tapakan
может бока в разметке? Покажи html

Извиняюсь за кодировку . Когда идет проверка username и email - вставляются реплики из

if ($pass == $passr) {
echo '<input hidden name="valid_pass" id="valid_pass" value="TRUE">';
echo 'Paroli da';
} else {
echo '<input hidden name="valid_pass" id="valid_pass" value="FALSE">';
echo 'NE';

<form action="" method="post" name="registr" id="registr" onsubmit="validate_form();">
<input type="text" name="username" id="username" onChange="validate_name('username');"  
placeholder="Введите желаемое имя" size="20" class="required" title="Ваше имя"><div id="usermessage"></div><br>
<input type="password" name="password" onChange="validate_pass('password');"  id="password" 
placeholder="Введите пароль" size="20" class="required" title="Ваш пароль"><div id="passmessage"></div><br>
<input type="password" name="passwordr" onChange="validate_pass('passwordr');"   id="passwordr" 
placeholder="Подтверждение пароля" size="20" class="required" title="Подтверждение пароля"><div id="passrmessage"></div><br>
<input type="text" name="email" id="email" onChange="validate_name('email');" 
placeholder="Ваш электронный адрес" class="required" title="Ваш e-mail" size="20"><div id="emailmessage"></div><br>
<input type="Submit" name="regi" id="regi" value="Зарегистрироваться" disabled="disabled">