в коде все работает верно, все срабатывает. Но из-за того что инструкция 'break' останавливает только вложенный (второй) 'foreach', первый продолжает свою работу.

И хоть в $result в какой то момент перебора попадает то что там должно было бы оказаться, но первый 'foreach' продолжает дальше перебирать массив и записывает в итоге в $result значение по последнему элементу перебора, а т.к. в $_POST записано 'Багратион', то в сверке с последним $value['title'] = 'Doom' выдает что нету совпадений

напишите вот так:

    break(2) // прочитайте про break  

if($_POST['result'] == $value['title']){
     $result = $value['title']. '<a href="index.php?type=movies&year='.$value['year'].'">('.$value['year'].')</a><br/>'; 
    var_dump($value['title']);
    break;

не знаю, может решилось, ну на всякий случай, вдруг пригодиться:

        foreach($movies as $key1 => $arr){
            foreach($arr as $value){
                echo 'В_группе_('. $key1 .'):_('. $_POST['result'] .')_сравнивается_с_';
                var_dump($value['title']);
        
                if($_POST['result'] == $value['title']){ echo '<font color="red">_надо_же_значения_совпали_</font>';}
                else { echo '<font color="green">_и_ниче_не_совпало_</font>'; }
                echo '<br>';
                
                if($_POST['result'] == $value['title']){
                        $result = $value['title']. '<a href="index.php?type=movies&year='.$value['year'].'">('.$value['year'].')</a><br/>'; 
                    break;
                    }
                else{
                        $result = '<font color="red"> В итоге нет совпадений, поменять "break;" на "break(2);"!</font>';
                    }
                }
echo '<br>';
            }
        echo $result;