так и твой код - тока динамически добавляет имя в div - PHP то схавает пустой DIV ))

глянь исходный код страницы после прорисовки.

_____________
HTML, CSS (Bootstrap), JS(JQuery, ExtJS), PHP, MySQL, MSSql, Posgres, (TSql, BI OLAP, MDX), Mongo, Git, SVN, CodeIgnater, Symfony, Yii 2, JiRA, Redmine, Bitbucket, Composer, Rabbit MQ, Amazon (SQS, S3, Transcribe), Docker

hammer_tm
да не надо изучать аякс, это всего лишь транспорт для передачи данных с клиента - серверу

есть упрощённый вариант с jquery - там ваще всё просто - 2й пост в топике

ты передашь данные на обработчик и вернёшь его на страницу. всё.

_____________
HTML, CSS (Bootstrap), JS(JQuery, ExtJS), PHP, MySQL, MSSql, Posgres, (TSql, BI OLAP, MDX), Mongo, Git, SVN, CodeIgnater, Symfony, Yii 2, JiRA, Redmine, Bitbucket, Composer, Rabbit MQ, Amazon (SQS, S3, Transcribe), Docker

    // вывод формы авторизации
    function authorization(){

<script type="text/javascript" src="//vk.com/js/api/openapi.js?121"></script>

<script type="text/javascript">
  VK.init({apiId: ВАШ_API_ID});
</script>

<script>
VK.Api.call('users.get', {user_ids: 1}, function(r) { 
  if(r.response) { 
    alert('Привет, ' + r.response[0].first_name); 
  } 
}); 
</script>


<?php
if($user_name == "Павел"){
// выполнить какой-то код
echo "Всё ок";
}else{
// Выполнить другой код
echo "Неверно";
}
?>

}

document.getElementById('id_of_the_element');

ну можно и на чистом JS же

для начала стартани сессию в твоей странице - где ты хочешь работать с этими данными

сам JS код

  <script>
  VK.Api.call('users.get', {user_ids: 1}, function(r) { 
    if(r.response) { 
       //отдали в функцию для транспорта
       ajaxcl (r.response[0].first_name); 
    } 
  }); 

  function ajaxcl (first_name) {
        var xmlhttp;
        if ( window.XMLHttpRequest ) {
            xmlhttp = new XMLHttpRequest();
        } else {
            xmlhttp = new ActiveXObject ( "Microsoft.XMLHTTP" );
        }
        xmlhttp.onreadystatechange = function () {
            if ( xmlhttp.readyState == 4 ) {
               //тут ответ сервера  
               var result = xmlhttp.responseText;

               //result.success - true|false при fasle есть result.error
               //вставить результат на страницу
               document.getElementById('resultSaving').innerHTML = (result.success) ? 'Запись успешна' : 'Ошибка: ' + result.error;
            }
        }
       //куда ушёл запрос
        xmlhttp.open ( "GET", "/getdata.php?first_name="+first_name+"&rand="+Math.random(), true );
        xmlhttp.send ();
    }
</script>

листинг getdata.php

<?php

  $first_name = isset($_GET['first_name']) ? urldecode($_GET['first_name']) : false;

  if($first_name){
      //Вот тебе и переменная $first_name
      if(запись прошла){
           echo json_encode(array('success'=>true));
      }
      else{
           echo json_encode(array('success'=>false, 'error'=>'Запись обломилась'));
      } 
  }
  else{
       //Ошибка получения имени
  }
  

вся работа getdata.php, проверка в БД если надо и т.д.
там же можно сохранить в сессию, или вернуть в JSON формате

_____________
HTML, CSS (Bootstrap), JS(JQuery, ExtJS), PHP, MySQL, MSSql, Posgres, (TSql, BI OLAP, MDX), Mongo, Git, SVN, CodeIgnater, Symfony, Yii 2, JiRA, Redmine, Bitbucket, Composer, Rabbit MQ, Amazon (SQS, S3, Transcribe), Docker