Доброго времени суток!
Пишу небольшое веб-приложение и решил сделать авторизацию, но возникла проблемка. Пользователь входит, для него создаётся сессия, а вот выйти уже не получается - сессия никак не уничтожается. Реализуется всё через 2 файла: authorization.php - файл в котором непосредственно создаётся сессия и exit.php - файл, где уничтожается сессия.
Подскажите, что делаю не так?

authorization.php

<?php
session_start();
include '../connect_db.php';
$usertype = $_POST['usertype'];
$login_st = $_POST['login_st'];
$password_st = $_POST['password_st'];
$login_te = $_POST['login_te'];
$password_te = $_POST['password_te'];
if($usertype == 'student') {
$password_st = MD5($password_st);   
$query = mysqli_query($db,"SELECT login,password FROM students WHERE login = '$login_st' AND password = '$password_st'");
if (mysqli_num_rows($query) != 0)
    {
        $_SESSION['login']  = 'student';
        echo"
        <script type='text/javascript'>
        alert('Вы авторизовались!');
        location.href = '../index.php';
        </script>
        ";
    } else {
        echo"
        <script type='text/javascript'>
        alert('Неверный логин или пароль');
        location.href = '../Auth/auth.php'
        </script>";
        };
} else 
    {
        $password_te = MD5($password_te);   
        $query = mysqli_query($db,"SELECT login,password FROM teachers WHERE login = '$login_te' AND password = '$password_te'");
        if (mysqli_num_rows($query) != 0)
        {
            $_SESSION['login']  = 'teacher';
            echo"
            <script type='text/javascript'>
            alert('Вы авторизовались!');
            location.href = '../admin.php';
            </script>
            ";
        } else {
            echo"
            <script type='text/javascript'>
            alert('Неверный логин или пароль');
            location.href = '../Auth/auth.php'
            </script>";
        };
    };  
?>

exit.php

<?php
session_start();
setcookie(session_name(), session_id(), time()-1);
session_unset();
session_destroy();
echo"
    <script type='text/javascript'>
    location.href = '../index.php';
    </script>
    ";
?>