Если на страницу пришел посетитель, в отношении которого есть подозрение, что это нежелательный робот, то такому посетителю необходимо предложить ответить на вопросы капчи.

Предполагается так:
- даем отклик 403;
- перенаправляем на страницу с капчей.

Для этого используется такой код:

header("Location: /control/captcha.php?url=". $url, true, 403 );
exit;

(Здесь в $url адрес страницы, на которую посетитель пришел)

Если для тестирования произвести скачивание страниц с помощью тестового скрипта, открывающего сайт функцией file_get_contents, то можно убедиться, что все так и происходит - функция получает код страницы с капчей.

Но если открывать браузером, то редиректа не происходит и мы видим просто пустую страницу (код на странице отсутствует).

Как можно предположить, отклик 403 и редирект для браузера несовместимы.

Как же решить эту проблему и корректно выполнить редирект?

К чему такие сложности? По каким критериям определяется нежелательность пользователя, и зачем пляски с бубном, заместо контента отдавай капчу, после успешной проверки - контент.

_____________
Принимаю заказы, писать в ЛС

При неудачном ответе на капчу ее нужно повторять. А это значит, что все равно требуется отдельный файл работы с капчей. Так что проще всего было бы переходить на него с самого начала.

Но если это невозможно, то придется воспользоваться Вашим советом.

Сделай отдельный файл, да подключай его. И какая разница сколько раз ввёл неправильно, сделай лимит, после чего сообщение - лимит превышен, попробуйте позже.

_____________
Принимаю заказы, писать в ЛС

Не катит.

Если файл используется самостоятельно, то в нем нужен код подключения базы.

А если его инклудить, то в том файле, к которому делается инклуд, база уже вызвана.

Селектор.
Если посетитель желательный, показ контента.
Если нежелательный - инклюд файла показа капчи.

_____________
Бесплатному сыру в дырки не заглядывают...

include ("db-config.php") ;

Получается, что нужно как-то узнать, что соединение с базой уже произошло.

Не удается найти подходящую функцию.

Нужна функци, которая вернула бы true если есть соединение с базой и false в противном случае.

всё очень просто

if(посетитель желательный){
    echo 'Вот тебе контент';
}
else{
   echo 'вот тебе форма с капчей';
}

<?php
function YesNoConnection($conn){
    return $conn->connect_error ? false : true;
}

$mysqli = new mysqli('localhost', 'my_user', 'my_password', 'my_db');

//Проверяем
$test = YesNoConnection($mysqli);

var_dump($test);

Я Вам не конкурент. Это совершенно точно.