Скачал код, скопировал к себе на страничку. Как только нажимаю кнопку, появляется окно и через мгновение исчезает. В документации нашел совет про свойство overflow, но не помогло.

хром?

у меня та же фигня с тех пор как хром стал блочить куки с типа "сторонних" сайтов. т.е. даже если подключен скрипт с фейсбука, хром не дает ему установить куку на домен фейсбука, из-за этого авторизация не проходит и кнопка не работает. то же самое с кнопками гугл+1, вконтакте и вероятно другими.

Нет, пробовал в Опере и Мозилле, с остальными кнопками порядок(twitter, google+, vk), работают. Причем, если я ставлю кнопку фейсбука на локалхосте, а адрес сервера указываю свой из интернета, то она не "мигает"

Попробовал на работе: кнопка вообще не отображается в браузерах(опера, хром). Ссылка для наглядности _pheopic.ru/test.php
Вылетело из головы, у нас закрыты соц. сети

странно, у меня только в хроме такая фигня, в ФФ все нормально

А вы не проверяли мою ссылку выше,там у вас нормально работает в фф?