Мне нужно запускать выгрузку товаров, но чтобы клиент нажал на кнопочку, выгрузка пошла и клиент мог бы спокойно уйти со страницы, а выгрузка продолжалась. То есть перезагрузка не нужна.

Как такое можно реализовать? Где-то слышал про асинхронный режим. Или такое через аджакс можно реализовать?

Еще видел подобный код, который вроде как запускает пхп в асинхронном режиме:

system('php -f '.$_SERVER['DOCUMENT_ROOT'].'/sync_remains.php > /dev/null &'); 

Буду благодарен вам за любую помощь.

http://php.net/manual/ru/function.ignore-user-abort.php

_____________
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ответ может быть здесь
или в mysql_error();

Не столько в асинхронном, сколько "в фоне". В Линуксе это можно сделать с помощью nohup:

nohup php /path/to/script.php &

Правда, с вызовом из самого пхп, возможно, придется пошаманить.