Пока плохо.

Для начала напиши первой строчкой это:

    error_reporting(E_ALL);

и увидишь нотис.

Потом положи рядом со скриптом такой .htaccess

php_flag magic_quotes_gpc On 
php_flag magic_quotes_runtime On

и проверь имя O'Railly

Следующим этапом попробуй прогнать такие комбинации символов:
%%%%
____
\
особенно в плане поиска.


Потом, это что?

        header("Location: /111.php");

Почему меня кидает на какую то непонятную страницу 111.php, которой у меня вовсе нет?

И ссылки тоже туда ведут...

Вот еще

$date_bd = mysql_fetch_array($date_sql);

Уже только ленивый не писал, что не нужно два массива сразу. Почитай внимательно про эту функцию.

Но в общем начало есть, а это главное)

Вот что получилось:

<?php
error_reporting(E_ALL);

$bd_host     = "localhost";
$bd_user     = "1";
$bd_password = "1";
$bd_base     = "1";

$con=mysql_connect($bd_host,$bd_user,$bd_password);
mysql_select_db($bd_base,$con);

if(!(empty($_POST['name'])))
{
    if (!get_magic_quotes_gpc()) 
	{
        $_POST['name'] = trim(addslashes($_POST['name']));
    }

	$name_sql = mysql_query("SELECT `id` FROM `names` WHERE `name` = '".$_POST['name']."'");
	
	if(mysql_num_rows($name_sql))
	{
	    echo "Данное имя уже имеется в БД";
	}
	  else
	{
	    mysql_query("INSERT INTO `names` (`name`) VALUES ('".$_POST['name']."')");
		header("Location: /index.php");
	}
}

if(!(empty($_GET['name'])))
{
    if (!get_magic_quotes_gpc()) 
	{
        $_GET['name'] = trim(addslashes($_GET['name']));
    }
	$search_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` WHERE `name` LIKE '%".$_GET['name']."%'"); 

	if(mysql_num_rows($search_sql))  
	{
	    echo "<b>Список найденых имен:</b><br>";
		
		while ($search_bd = mysql_fetch_array($search_sql))
		{
		    echo "<a href='index.php?id=".$search_bd['id']."'>".htmlspecialchars($search_bd['name'])."</a><br>";
		}
	}
	  else
	{
	    echo "Имен не найдено.";
	}     
}


if(!(empty($_GET['id'])))
{
    $date_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` where `id` = '".intval($_GET['id'])."' ORDER BY `date` DESC");

	if(mysql_num_rows($date_sql)) 
	{
	    $date_bd = mysql_fetch_array($date_sql);
		
	    echo "Пользователь " . htmlspecialchars($date_bd['name']) . " зарегистрирован " . $date_bd['date'] . "<br>";
	}
}

$vse_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` ORDER BY `date` DESC");

if(mysql_num_rows($vse_sql)) 
{
    echo "<b>Список зарегистрированных имен:</b><br>";
	
	while ($vse_bd = mysql_fetch_array($vse_sql))
	{
	    echo "<a href='index.php?id=".$vse_bd['id']."'>".htmlspecialchars($vse_bd['name'])."</a><br>";
	}
}

?>
<table width="27%" align="center">
<tr>
<td><form method="get" action="">Имя для поиска:</td>
<td><input type="text" name="name" value="<?=isset($_GET['name']) ?$_GET['name'] :NULL?>"></td>
<td><input type="submit" value="ОК"></form></td>
</tr>
<tr>
<td><form method="post" action="">Имя для регистрации:</td>
<td><input type="text" name="name"></td>
<td><input type="submit" value="ОК"></form></td>
</tr>
</table>

От нотиса избавился.

раньше работал, на странице 111.php, теперь переделал на index.php

O'Railly пропускает нормально.

$date_bd = mysql_fetch_array($date_sql);

Пока не совсем чисто.

Попробуй найти O'Railly и посмотри, что возвращается в форму поиска.
Ну и с процентами, обратным слэшем и подчеркиванием решай. Посмотри, как другие решали.

И еще, а что ты тут сортируешь?

    $date_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` where `id` = '".intval($_GET['id'])."' ORDER BY `date` DESC");

И последнее, после редиректа нужно останавливать скрипт. Иначе могут быть непредсказуемые последствия и перерасход ресурсов.

Вот что получилось

<?php
error_reporting(E_ALL);

$bd_host     = "localhost";
$bd_user     = "1";
$bd_password = "1";
$bd_base     = "1";

$con=mysql_connect($bd_host,$bd_user,$bd_password);
mysql_select_db($bd_base,$con);

if(!(empty($_POST['name'])))
{
    if (!get_magic_quotes_gpc()) 
	{
        $_POST['name'] = stripslashes($_POST['name']);
    }
	
	$_POST['name'] = trim($_POST['name']);

	$name_sql = mysql_query("SELECT `id` FROM `names` WHERE `name` = '".mysql_real_escape_string($_POST['name'])."'") or die();
	
	if(mysql_num_rows($name_sql))
	{
	    echo "Данное имя уже имеется в БД <br>";
	}
	  else
	{
	    mysql_query("INSERT INTO `names` (`name`) VALUES ('".$_POST['name']."')");
		header("Location: index.php");
	}
}

if(!(empty($_GET['name'])))
{	
    if(get_magic_quotes_gpc()) 
	{
        $_GET['name'] = stripslashes($_GET['name']);
    }
	
	$_GET['name'] = trim($_GET['name']);

	$search_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` WHERE `name` LIKE '%".mysql_real_escape_string(addcslashes($_GET['name'], '\%_'))."%'") or die(); 

	if(mysql_num_rows($search_sql))  
	{
	    echo "<b>Список найденых имен:</b><br>";
		
		while ($search_bd = mysql_fetch_assoc($search_sql))
		{
		    echo "<a href='index.php?id=".$search_bd['id']."'>".htmlspecialchars($search_bd['name'])."</a><br>";
		}
	}
	  else
	{
	    echo "Имен не найдено. <br>";
	}     
}


if(!(empty($_GET['id'])))
{
    $date_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` where `id` = '".intval($_GET['id'])."'") or die();

	if(mysql_num_rows($date_sql)) 
	{
	    $date_bd = mysql_fetch_assoc($date_sql) or die();
		
	    echo "Пользователь " . htmlspecialchars($date_bd['name']) . " зарегистрирован " . $date_bd['date'] . "<br>";
	}
}

$vse_sql = mysql_query("SELECT * FROM `names` ORDER BY `date` DESC") or die();

if(mysql_num_rows($vse_sql)) 
{
    echo "<b>Список зарегистрированных имен:</b><br>";
	
	while ($vse_bd = mysql_fetch_assoc($vse_sql))
	{
	    echo "<a href='index.php?id=".$vse_bd['id']."'>".htmlspecialchars($vse_bd['name'])."</a><br>";
	}
}

?>
<table width="27%" align="center">
<tr>
<td><form method="get" action="">Имя для поиска:</td>
<td><input type="text" name="name" value="<?=isset($_GET['name']) ?$_GET['name'] :NULL?>"></td>
<td><input type="submit" value="ОК"></form></td>
</tr>
<tr>
<td><form method="post" action="">Имя для регистрации:</td>
<td><input type="text" name="name"></td>
<td><input type="submit" value="ОК"></form></td>
</tr>
</table>

Вот совсем другое дело. Любо-дорого. Респект. :)

Последние замечания:
1. Не используй табуляцию или включи замену на пробелы. Видишь сам, как код расползся.

2. Постарайся не писать длинных строк. Оптимально - 80 символов. Максимально - 120. Тогда будет совсем красиво.

3. Тут все-таки надо поставить die()

	{
	    mysql_query("INSERT INTO `names` (`name`) VALUES ('".$_POST['name']."')");
		header("Location: index.php");
		die();

а тут убрать: