Тут надо еще думать как у тебя функция вызывается.
Но я предполагаю, что он вызывается из цикла примерно так...

while($row = mysql_fetch_assoc($result))
{
	vam_show_category($row);
}

Теперь перед циклом надо определить булевую переменную, а в теле цикла ее менять на обратное значение и передавать ее в функцию vam_show_category()

$bool = true; // определение булевой переменной
while($row = mysql_fetch_assoc($result))
{
	vam_show_category($row, $bool); // передача в функцию дополнительного параметра
	$bool = $bool==true ? false : true; // изменение на противоположное значение
}

Правим функцию vam_show_category(). Теперь она принимает два аргумента, и в зависимости от второго выводит нужное название класса

function vam_show_category($counter, $bool) { // Функция принимает два аргумента
    ...
    $categories_string .= 'bg_list'.($bool==true ? '_un' : ''); // Тут меняем название класса в зависимости от полученного второго аргумента
    ...
}

Использовал "Тернатный оператор. a ? b : c"
о нем тут © inpost

Судя по всему, это тот скрипт (ниже), откуда эта функция и вызывается.
Цикл вижу, но функция меню вызывается вне этого цикла. Куда необходимо вставить изенение $bool на противоположное и передачу параметра в функцию?

<?php
$start = microtime();
$box = new vamTemplate;
$box_content = '';
$id = '';

$box->assign('language', $_SESSION['language']);
// set cache ID
if (!CacheCheck()) {
	$cache=false;
	$box->caching = 0;
} else {
	$cache=true;
	$box->caching = 1;
	$box->cache_lifetime = CACHE_LIFETIME;
	$box->cache_modified_check = CACHE_CHECK;
	$cache_id = $_SESSION['language'].$_SESSION['customers_status']['customers_status_id'].$current_category_id;
}

if(!$box->is_cached(CURRENT_TEMPLATE.'/boxes/box_categories.html', $cache_id) || !$cache){

$box->assign('tpl_path', 'templates/'.CURRENT_TEMPLATE.'/');

// include needed functions
require_once (DIR_FS_CATALOG.'templates/'.CURRENT_TEMPLATE.'/source/inc/vam_show_category.inc.php');
require_once (DIR_FS_INC.'vam_has_category_subcategories.inc.php');
require_once (DIR_FS_INC.'vam_count_products_in_category.inc.php');


$categories_string = '';
if (GROUP_CHECK == 'true') {
	$group_check = "and c.group_permission_".$_SESSION['customers_status']['customers_status_id']."=1 "; 
 } else { $group_check=''; }

$categories_query = "select c.categories_id,
                                           cd.categories_name,
                                           c.parent_id from ".TABLE_CATEGORIES." c, ".TABLE_CATEGORIES_DESCRIPTION." cd
                                           where c.categories_status = '1'
                                           and c.parent_id = '0'
                                           ".$group_check."
                                           and c.categories_id = cd.categories_id
                                           and cd.language_id='".(int) $_SESSION['languages_id']."'
                                           order by sort_order, cd.categories_name";
$categories_query = vamDBquery($categories_query);

while ($categories = vam_db_fetch_array($categories_query, true)) {
	$foo[$categories['categories_id']] = array ('name' => $categories['categories_name'], 'parent' => $categories['parent_id'], 'level' => 0, 'path' => $categories['categories_id'], 'next_id' => false);

	if (isset ($prev_id)) {
		$foo[$prev_id]['next_id'] = $categories['categories_id'];
	}

	$prev_id = $categories['categories_id'];

	if (!isset ($first_element)) {
		$first_element = $categories['categories_id'];
	}
}

//------------------------
if ($cPath) {
	$new_path = '';
	$id = preg_split('/_/', $cPath);
	reset($id);
	while (list ($key, $value) = each($id)) {
		unset ($prev_id);
		unset ($first_id);
		$categories_query = "select c.categories_id, cd.categories_name, c.parent_id from ".TABLE_CATEGORIES." c, ".TABLE_CATEGORIES_DESCRIPTION." cd where c.categories_status = '1' and c.parent_id = '".$value."' ".$group_check." and c.categories_id = cd.categories_id and cd.language_id='".$_SESSION['languages_id']."' order by sort_order, cd.categories_name";
		$categories_query = vamDBquery($categories_query);
		$category_check = vam_db_num_rows($categories_query, true);
		if ($category_check > 0) {
			$new_path .= $value;
			while ($row = vam_db_fetch_array($categories_query, true)) {
				$foo[$row['categories_id']] = array ('name' => $row['categories_name'], 'parent' => $row['parent_id'], 'level' => $key +1, 'path' => $new_path.'_'.$row['categories_id'], 'next_id' => false);

				if (isset ($prev_id)) {
					$foo[$prev_id]['next_id'] = $row['categories_id'];
				}

				$prev_id = $row['categories_id'];

				if (!isset ($first_id)) {
					$first_id = $row['categories_id'];
				}

				$last_id = $row['categories_id'];
			}
			$foo[$last_id]['next_id'] = $foo[$value]['next_id'];
			$foo[$value]['next_id'] = $first_id;
			$new_path .= '_';
		} else {
			break;
		}
	}
}

vam_show_category($first_element);

$box->assign('BOX_CONTENT', $categories_string);

}

// set cache ID
if (!$cache) {
	$box_categories = $box->fetch(CURRENT_TEMPLATE.'/boxes/box_categories.html');
} else {
	$box_categories = $box->fetch(CURRENT_TEMPLATE.'/boxes/box_categories.html', $cache_id);
}

$vamTemplate->assign('box_CATEGORIES', $box_categories);
?>

В первой посте внизу есть такой кусок

    if ($foo[$counter]['next_id']) {
        $bool = $bool==true ? false : true;
        vam_show_category($foo[$counter]['next_id'], $bool);
    } else {
        $categories_string .= '';
    }

Видимо сюда

hellmin, так тоже не заработало :(
Но задачу получилось решить. Спасибо за косвенную помощь!
PHP я в принципе не знаю, но Вы и логика помогли решить вопорс :) :
- строку изменения переменной

 $bool = $bool==true ? false : true;

я оставил в самой изначальной функции. Но так скрипт просто возвращал одно значение (1). А для того, чтобы это заработало переменную $bool нужно было заново передать (включить в скобки, где вызывается эта функция и собственно получить в заголовке самой функции)

function vam_show_category($counter, $bool)

Я об этом понятия не имел... :)
hellmin, спасибо!